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来源:广州365bet图片_365bet足球游戏_365bet网站平台中心 日期:2019/4/17
数学(理科)试题
第Ⅰ卷(选择题? 共60分)
一.选择题:本大题共12题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求。
1. ,则M ,N两个集合关系正确的是
A. B.?
C. D.?
2.复数 等于
A. B. C. D.?
3.在等差数列 中,若 ,则? ? ? ? ? ??
A. B.? ? ? ? ? ? C. D.1
4.某班级要从4名男生.2名女生中选派4人参加某次社区服务,如果要求至少有1名女
生,那么不同的选派方案种数为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
A.48? ? ? B.28? ? ? ? ? C.24? ? ? ? ? ? D.14
5.已知函数 ,是 的反函数,若m+n=6,则 的值为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
A.0 ? ? B.1 ? ? C.2 ? ? ? D.6
6.在△ABC中,角A.B.C的对边分别为a.b.c,若 ,则角B的值是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
A.? ? ? ? ? ? B. C. 或? ? ? ? D. 或??
7.把一枚质地均匀六面分别标有1,2,3,4,5,6的小正方体投掷两次,并记第一次出
现的点数为 ,第二次出现的点数为 ,向量 ,则向量 与向量 不共线的概率为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
A.? ? ? B.? ? ? ? ? ? ? C.? ? ? ? ? ? ? ?D.?
8.若 ,则
A. B.? ? ? ? ? ??
C.? ? ? ? ? D.?
9.已知双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,它的一条渐近线与x轴的夹角为 ,且 ,则双曲线的离心率的取值范围是?
A.? ? B.? ? ? ? ? C.? ? ? ? ? ? D.?
10.已知一个正三棱锥的侧棱长为4,且侧棱与底面所成的角为 ,则该正三棱锥的体积为
A. B.? ? ? ? ? C.? ? ? ? D.?
11.已知椭圆的中心为O,右焦点为F,右顶点为G,右准线与x轴的交点为H,则的最大值为
A. B.? ? ? ? ? ? C.? ? ? ? ? ? D.?
12.已知函数?
( R),则满足 的a的值有? ? ? ? ??
A.2个 B.3个 C.4个 D.无数个
第Ⅱ卷(非选择题? 共90分)
二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
13. 的展开式中的常数项是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.
14.已知不等式 解集为 ,则a + b = _____________.
15.球面上有三个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 ,经过这三个点的小圆的周长为 ,则这个球的表面积为? ? ? ? ? ? ? ??
16.已知实数a,b使函数 是偶函数,则在所有满足条件的偶函数中,图象与 轴交点纵坐标的最大值为? ? ? ? ? ?,最小值为? ? ? ? ? ? .
三.解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
设函数?
(Ⅰ)求函数 的最小正周期及单调递增区间;
(Ⅱ)当 时,函数 的最小值为2,求此时函数 的最大值,并指出x取何值时函数 取到最大值.
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18.(本小题满分12分)?
? ? ? ? ?某用人单位招聘规则为:在所有报名人员中举行4次统一测试,如果通过其中2次测试即被录用,不用参加其余的测试,而每人最多也只能参加4次测试.假设某人每次通过测试的概率都是 ,每次测试通过与否互相独立.规定:若前3次都没有通过测试,则不能参加第4次测试.?
(Ⅰ)求该人被录用的概率;
(Ⅱ)记该人可以参加测试的次数为 ,求 的分布列及ξ的数学期望.?
?
?
?
?
?
19.(本小题满分12分)
设数列 的前 项和为 , ,已知 (n =1,2,3,…)
(Ⅰ)求证: 是等差数列;
(Ⅱ)设 是数列的前 项和,求使? 对所有
的 都成立的最大正整数 的值.
?
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?
20.(本小题满分12分)
如图,在直三棱柱 中,AC=BC=2,
AB= = ,点D是AB的中点,点E是 的中点.? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
(Ⅰ)求证: ⊥平面CDE;? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
(Ⅱ)求二面角 的大小.
?
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?
21.(本小题满分12分)
已知函数? .
? ?(Ⅰ)求证:当 时,方程 有唯一解;
(Ⅱ)当 时,若 ≥ 在 ∈(0,1]内恒成立,求 的取值范围.
?
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22.(本小题满分12分)
已知抛物线C:? (b为常数),A ,B为抛物线上两点,若过A ,B的两条切线相互垂直.
(Ⅰ)求AB中点轨迹E的方程;
(Ⅱ)将(Ⅰ)中曲线E按向量 平移后得到曲线记为F,设F与两坐标轴有三个交点;
(ⅰ)求过这三个交点的圆的方程.
? ? ? ? ?(ⅱ)问圆C′是否经过某定点(其坐标与b无关),若过,求出定点; 若不过,说明理由.
?
?
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?
?
参考答案
一.每小题5分,共60分? ? ? DACDB? DACBB? ?DD
二.每小题5分,共20分.其中第16题前空2分,后空3分.
13. 60;? ? ?14.? ;? ? ?15. ;? ? 16.? 2,-??
三.解答题:本大题共6个小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(Ⅰ)? ?
∴? ? ? ??
(Ⅱ) (7分)
? ? ? ? (8分)
∴? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(10分)
18.解:(Ⅰ)记“该人被录用”的事件为事件A,其对立事件为 ,则
?
?
(Ⅱ)该生参加测试次数ξ的可能取值为2,3,4,依题意得
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
分布列为??
?
2 3 4
p 1/9 4/9 4/9
……………………………….11分
?
?
?
故 ……………..12分
19.解:(Ⅰ)依题意 , ,故 …1分,? ? ??
当 时,? ① 又? ②
②―①整理得: ,故 为等比数列…………………3分
且 …………4分∴ …………………………….5分
?,即 是等差数列………………….6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
?… …8分.
? ? ? ?…………9分,依题意有 ,解得 …11分
故所求最大正整数 的值为 ……………………………………………12分
20.
?
?
?
?
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?
解法一:(1)证明:?
?
?………………………….5分
?
(8分)
?
? 解法二:以C为坐标原点,射线CA为x轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐? ? ? ? 标系C-xyz.依题意有C? ,
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (3分)
(Ⅰ)
?(Ⅱ)解:
? 21.解(1)原方程为?
设?
令?
令?
? 变化情况如下表:
?
(0,1) 1 (1,+∞)
?
0 +
?
递减 0 递增
即 在 处有一个最小值0,即当 时, >0,∴ =0只有一个解.即当 时,方程 有唯一解………………………6分.
?
?
?22.解:(Ⅰ)设A? .A,B的中点为M(x, y )
则? (1分) 依题意 又由过两点A,B的切线相互垂直得?
从而
?即所求曲线E的方程为 y= ……………………………………4分
? (Ⅱ)由(Ⅰ)得曲线F方程为? 即 ,令 =0,得曲线F与 轴交点是(0,b );令 ,由题意b≠-1 且Δ>0,解得b<3 且b≠-1.? ? ? ? ? ………………………………………….6分
(ⅰ)方法一:设所求圆的一般方程为? 令 =0 得 这与 =0 是同一个方程,故D=4, .………………….8分.
令 =0 得 ,此方程有一个根为b+1,代入得出E=―b―1.
所以圆C 的方程为 …………………9分
方法二: ①+②得
?(ⅱ)方法一:圆C 必过定点(0,1)和(-4,1).………………………11分
证明如下:将(0,1)代入圆C 的方程,得左边=0 +1 +2×0-(b+1)+b=0,右边=0,
所以圆C 必过定点(0,1).同理可证圆C 必过定点(-4,1).…………………12分
? 方法二:由 圆C 的方程得 ………………11分

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